一、剩余定理的特殊情况

 

　　（1）余同（余数相同）：除数的最小公倍数+余数

 

　　例题1：三位数的自然数P满足：除以4余2，除以5余2，除以6余2，则符合条件的自然数P有多少个？

 

　　A.120 B.122 C.121 D.123

 

　　【答案】B。

 

　　【www.gk6.cn解析】一个数除以4、5、6均余2，余数相同，属于余同，因此这个数满足通项公式N=60n+2，（n=0,1,2,3……），当n=2时，N=122,选择B项。

 

　　（2）和同（除数和余数的和相同）：除数的最小公倍数+和（除数加余数的和）

 

　　例题2：三位数的自然数P满足：除以5余3，除以6余2，除以7余1，则符合条件的自然数P有多少个？

 

　　A.3 B.2 C.4 D.5

 

　　【答案】D。

 

　　【www.gk6.cn解析】此题除数与余数的和相加均为8，则该自然数应满足N=210n+8（n=0,1,2……），因此在0至999以内满足题干条件的自然数有8，218，428，638，848五个数，因此选D。

 

　　（3）差同（除数减余数之差相同）：除数的最小公倍数-差（除数减余数的和）

 

　　例题3：某校三年级同学，每5人一排多1人，每6人一排多2人，每7人一排3多人，问这个年级至少有多少人？

 

　　A.206 B.202 C.237 D.302

 

　　【答案】A。

 

　　【www.gk6.cn解析】

 

　　方法一：代入排除法（略）。

 

　　方法二：通过观察发现除数与余数的差均为4，所以此数满足：N=210n-4（n=1,2,3……），当n=1时，算得次数为206，因此选A。

 

　　二、剩余定理的一般情况

 

　　例题4：一个自然数P同时满足除以3余1，除以4余3，除以7余4，求满足这样条件的三位数共有多少个？

 

　　A.10 B.11 C.12 D.13

 

　　【答案】B。

 

　　【www.gk6.cn解析】先取其中两个条件，除以3余1，除以4余3，即P=4n+3=3a+1，等式两边同时除以3，等式左边的余数为n,等式右边的余数为1，即n=1,代入上式可知满足上述两个条件的最小的数为7，则同时满足上述两条件的数的通项公式为P=12n+7……①，再将①式所得的条件与题干中除以7余4的条件组合成新的条件。即满足题干中三个条件的数P=12n+7=7b+4，等式两边同时除以未知数较小的系数7，则左边余数为5n，等式右边的余数是4，也可认为余数是25，即5n=25，求解得n=5，代入到①式中，即同时满足题干中三个条件的最小的自然数P=67，则满足题干三个条件的数的通项公式为P=84n+67（n=0,1,2,3……）即100≦84n+67≦999可求得1≦n≦11，即符合题意的数共有11-1+1=11个数。

 

　　例题5：一个自然数P同时满足除以11余5，除以7余1，除以5余2，求满足这样条件的三位数共有多少个？

 

　　A.9 B.10 C.11 D.12

 

　　【答案】D。

 

　　【www.gk6.cn解析】通过观察会发现前两个条件属于差同，所以满足前两个条件的数的通项公式P=77n-6（n=0,1,2,3……），即100≦77n-6≦999可求得2≦n≦13，即符合题意的数共有13-2+1=12个数，因此选D。

 

　　从上面的例题中我们可以总结出以下关系：

 

　　如果一个数Q除以m余数是a，除以n余数是a，除以t余数是a，那么这个数Q可以表示为：

 

　　Q=a+（m、n、t的最小公倍数）N，N为整数，a是相同的余数。

 

　　如果一个数Q除以m余数是a-m，除以n余数是a-n，除以t余数是a-t，那么这个数Q可以表示为：

 

　　Q=a+（m、n、t的最小公倍数）N，N为整数，a是除数同余数的加和。

 

　　如果一个数Q除以m余数是m-a，除以n余数是n-a，除以t余数是t-a，那么这个数Q可以表示为：

 

　　Q=（m、n、t的最小公倍数）-a N-a，N为整数，a为相同的除数和余数的差。

 

　　不管题目怎么变化，只要记住这3个关系，在考试中的剩余问题都是可以迎刃而解的。